שאלה בנושא אקראי.....

E light · שליחה על ידי **E light** » 03/3/2007 , 18:46

יש לי קובייה. אני זורק אותה בצורה הכי אקראית שיש. יוצא לי 5. עכשיו אני עומד לזרוק את הקובייה עוד פעם, בצורה הכי אקראית שיש, האם יש פחות סיכויי שיצא לי 5 מ-6 נגיד???
כביכול התשובה נראית ברורה - "לא, כל זריקה היא עצמאית ולא קשורה לאחרות". אבל, לאחר חשיבה מעמיקה, כשאני זורק את הקובייה באופן אקראי זה אומר שמתוך 6 מיליארד זריקות יצא (בעיגול) מיליארד פעמים 1 מיליארד פעמים 2 מיליארד פעמים 3.... אז, אם יצא פעם אחת חמש, "נשארה" זריקה אחת פחות שיצא בה 5, אז זה ן משפיע.
אני אשמח לשמוע את תשובתכם ועוד יותר את הוכחתכם. השאלה היא שאלת מחשבה ואני מבקש לענות בהסבר. לפי דעתי אין כאן תשובה לא נכונה, מה שנראה מאוד לא הגיוני ולכן אני מבקש את עזרתכם....

MosheJW · שליחה על ידי **MosheJW** » 03/3/2007 , 18:54

Gambler's Fallacy המפורסם.
התשובה שאמרת שהיא כביכול ברורה היא התשובה הנכונה.
בפירוש יש תשובה לא נכונה, כל תשובה אחרת היא לא נכונה.
זה נכון שבממוצע מתוך 6 מיליארד זריקות תקבל בערך מיליארד של כל אחת, אבל זה לא חייב להיות בדיוק מיליארד, ואין שום דבר שמכריח את הקוביה להביא תוצאה ממוצעת. אם זרקתי 5 פעמים ברצף את המספר 6, הסיכוי שאני אזרוק בפעם הבאה 6 הוא בדיוק 1/6.

אולי תנסה לראות את זה ככה. נגיד שזרקתי קוביה 6 מיליארד פעמים, ובדיוק מיליארד פעמים יצא 5. עכשיו תסתכל רק על המיליארד שזרקתי בהם 5. בכולם יצא 5 לא? קצת מוזר, זה זריקה אקראית, הייתי אמור לצפות שיצא רק ב166 מליון מהם 5.

slava · שליחה על ידי **slava** » 03/3/2007 , 18:56

הסיכוי שיצא 5 בזריקה הוא 1/6. הסיכוי שיצא בפעם השנייה 5 זהה. אבל הסיכוי שיצא פעמיים 5 שווה ל1/36. אך הסיכוי שיצא 5 ואז 6 גם שווה ל1/36. הסיכויי למספר שיצא תמיד זהה.

E light · שליחה על ידי **E light** » 03/3/2007 , 19:04

משה, אני מבין למה התכוונת אבל עדיין, משהו נראה לי לא נכון.... מתוך הדברים שלך בעצם ניתן להסיק שאקראיות לא אומרת שמתוך 6 מיליארד זריקות יצא בקירוב מיליארד פעמים מכל מספר, מה שנראה לי ממש מוזר. השאלה היא, מה ההגדרה של אקראיות.....

MosheJW · שליחה על ידי **MosheJW** » 03/3/2007 , 19:10

אין שום דבר שמכריח שיצאו בערך מיליארד. זה הרבה יותר סביר מ"כל הזריקות אותו דבר", אבל זאת גם אפשרות.

Shali · שליחה על ידי **Shali** » 03/3/2007 , 19:10

מה הסיכוי שיצא לי בזריקה הראשונה 5 ובזריקה השנייה 5? 1/36
מה הסיכוי שיצא לי בזריקה הראשונה 5 ובזריקה השנייה 1? 1/36
כנ"ל לשאר המספרים..
מכאן שלא משנה שבזריקה הראשונה יצא לי 5, הסיכוי שיצא לי 5 בזריקה הבאה שווה בדיוק לסיכוי שיצא לי כל מספר אחר.

פשוט מה שמטעה אנשים זה שמסתכלים על הסיכוי שבזריקה השנייה יצא לי 5, מול הסיכוי שיצא לי בזריקה השנייה כל מספר אחר. ולכן זה נראה כאילו הסיכוי אמור להיות קטן יותר.

E light · שליחה על ידי **E light** » 03/3/2007 , 19:43

אז אקראי לא אומר שמתוך x זריקות יצא לי 1:6x מכל מספר?

Antrax · שליחה על ידי **Antrax** » 03/3/2007 , 19:49

E light, נגעת פה בשני דברים.
הנקודה הראשונה, לגבי סטטיסטיקה במבט לאחור. תחשוב על זה ככה: כשאתה עומד לפני שתי זריקות, הסיכוי שיצא לך 5 ואז שוב 5 הוא 1/36. כשאתה עומד לפני זריקה אחת, הסיכוי שיצא לך חמש הוא 1/6, וזה לא תלוי בכלל במה יצא לך בזריקות הקודמות. לכן, אחרי שכבר קיבלת 5 פעם אחת, הסיכוי לקבל 5 שוב לא משתנה, למרות שהסיכוי "לקבל 2 חמש" כשאתה עומד לפני תחילת הסדרה הוא נמוך. זה כמו שתזרוק קוביה, יצא לך 5, ואז תגיד "רגע, הסיכוי היה 1/6 אבל זה קרה ולכן זה כאילו בהסתברות 1". ברגע שמשהו כבר קרה, הוא לא משפיע על הגרלות בלתי תלויות.
הנקודה השניה, שהיא יותר מעניינת, היא המחשבה "אבל רגע, אם אני אזרוק עכשיו שש מיליארד קוביות, אז יצא בערך מיליארד 1, מיליארד 2, וכך הלאה". זה גם נכון, וזה נובע ממשפט מתמטי מרכזי בתורת ההסתברות, שנקרא "משפט הגבול המרכזי". קשה להסביר במונחים פשוטים מה הוא אומר, אבל זה הכלל שגורם לכך שמספר ה5 שאתה צפוי לקבל אם אם אתה עכשיו מטיל 6 מיליארד קוביות הוא מיליארד, ושההסתברות שתקבל משהו מאד רחוק מזה (לדוגמה, חצי מיליארד) מאד מאד נמוכה. אין פה פגיעה ברעיון של אקראיות - כל נסיון בפני עצמו הוא אקראי, פשוט מסתבר שקבוצות גדולות של ניסויים מתנהגות באורח שאפשר לחזות בצורה יחסית פשוטה. בצורה אינטואיטיבית, זה בגלל שהסטיות מהתחזית לכאן או לכאן מאזנות אחת את השניה בטווח הארוך. בצורה מתמטית, זה מורכב מאד, אבל בהחלט מעניין.
מי שמסתקרן, יכול לנסות לקרוא את זה, למרות שקשה לי להאמין שאפשר להבין את זה בלי רקע.

E light · שליחה על ידי **E light** » 03/3/2007 , 20:34

תודה רבה אנטרקס, ממש עזרת.